up board model paper 2023 class 12th math
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कक्षा 12वी गणित वार्षिक परीक्षा मॉडल पेपर 2023 का सम्पूर्ण हल
यूपी बोर्ड वार्षिक परीक्षा मॉडल पेपर 2023
कक्षा – 12वी
विषय – गणित
समय: 3 घण्टे 15 मिनट पूर्णांक : 100
निर्देश - प्रारम्भ के 15 मिनट परीक्षार्थियों को प्रश्न-पत्र पढ़ने के लिए निर्धारित है
नोट- (i) सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
(ii) प्रत्येक प्रश्न के निर्धारित अंक उसके समक्ष दिए गए हैं।
1.सही विकल्प चुनकर उत्तर पुस्तिका में लिखिए-
(क) यदि समुच्चय A में 5 अवयव हैं तथा समुच्चय B में 6 अवयव हैं, तो A से B में एकैकी तथा आच्छादक प्रतिचित्रणों की संख्या है 1
(a) 720
(b) 120
(c) 0
(d) इनमें से कोई नहीं
(ख) A और B समान कोटि के आव्यूह हों तो (AB' – BA')
(a) विषम सममित आव्यूह है
(b) शून्य आव्यूह है।
(c) सममित आव्यूह है
(d) तत्समक आव्यूह है
(ग) यदि y = √sin x + y है, तो dy/dx बराबर हैं 1
(a) Cosx /(2y - 1)
(b) Cosx/(1-2y)
(c)sin x /(1-2y)
(d)sin x/(1-2y)
(घ) समाकलन ∫eˣsecx (1 + tan x) dx बराबर है 1
(a) eˣ cosx+C
(b) eˣ secx+C
(c) eˣ sinx + C
(d) eˣ tan x + C
(ङ) यदि एक रेखा की द्विक् कोज्याएँ K, K, K हैं, तो
(a) K > 0
(b) 0<K<1
(c) K = 1
(d) K = ± 1/√3
2. सभी खण्ड कीजिए-
(क) सिद्ध कीजिए कि sin⁻¹(-x) = - sin⁻¹x, x∈ [-1, 1]
(ख) यदि A = [¼ 2/-3] तो A² ज्ञात कीजिए।
(ग) sin⁻¹(2x/(1 + x²) का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए। 1
(घ) सदिश i - 2j + 2k के अनुदिश तीन इकाई लम्बाई का सदिश ज्ञात कीजिए। 1
(ङ) यदि P(A) =½ , P(B) =⅓तथा P(A∪B) =⅔ हो, तो क्या घटनाएँ A और B स्वतंत्र है?1
3. सभी खण्ड कीजिए-
(क) सिद्ध कीजिए कि (x) = lxl द्वारा दिया गया व्यंजक न तो एकैकी है। और न आच्छादक। 2
(ख) सारणिक | x+y y+z z+x|
| z x y |
| 1 1 1 |
का बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि इसका मान शून्य है।
(ग) यदि y = xˣ⁽ˣ⁾·······∞हो, तो सिद्ध कीजिए-
dy/dx = y²/ (1 - y log x) x
(घ) यदि एकांक सदिशों a और b के बीच का कोण
θ है तो सिद्ध कीजिए sinθ/2 = 1/2|a-b|
4. सभी खण्ड कीजिए-
(क) वक्र 4x² + 5y² = 2 के उस बिन्दु पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ x = ½
(ख) ∫{x² tan⁻¹(x³)} / (1 + x⁶) dx को हल कीजिए।2
(ग) अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 10 - 6x - 2x²
(a) निरन्तर वृद्धिमान है, (b) निरन्तर ह्रासमान है। 2
(घ) दो पाँसों को युग्मतः उछाला गया। यदि X छक्कों की प्रायिकता को व्यक्त करता है तो X की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।2
5. किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए-
(क) सिद्ध कीजिए कि f: R {x€R:- 1<x<1} जहाँ f(x) = X/( 1 + | x |)आच्छादक है। X∈R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है 5
(ख) आव्यूह A = |1 3 5|
|-6 8 3|
|-4 6 5|
को सममित तथा विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।5
(ग) K के किस मान के लिए f(x), x = 2 पर सतत है-5
f(x) = { 2x + 1 , x<2
{ k , x=2
{3x-1 , x>2
(घ) सिद्ध कीजिए—∫ sin⁻¹( 2x/(1+x²))dx =π/2-log(2)
(ङ) बिन्दुओं A (2, 2, - 1), B(3, 4, 2) और C(8, 0, 6) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। 5
(च) एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है।
ज्ञात कीजिए-5
(i) k
(ii) P(X <3)
(iii) P(X > 6 )
(iv) P(0<X<3)
6. किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए-
(क) फलन cos⁻¹{ (1 - x²)/ (1+x²)} का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात कीजिए।5
(ख) y = (cosx)sin(x) + xˣ का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए। 5
(ग) अवकल समीकरण (1+x²) sec²y dy + 2x.tany dx = 0 को हल कीजिए जबकि y=π/4 तथा x = 1
(घ) यदि a, b,c तीन सदिश राशियाँ इस प्रकार हैं कि a + b + c = 0 तो सिद्ध कीजिए कि
axb=bxc = cxa
(ङ) f(3.02) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ
f(x) = 3x² + 5x + 3 है।5
(च) रेखाओं r = i+j + λ(2i- j+k) तथा =
r= 2i + j-k +μ (3i - 5j+ 2k) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए। 5
7. निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए-
(क) दिखाइए कि परवलयों y² = 4ax तथा x² = 4ay के बीच का क्षेत्रफल 16a²/3 होगा। 8
(ख) दिखाइए कि अवकल समीकरण (x - y)dy/dx= x+2y समघातीय है तथा इसका हल ज्ञात कीजिए। 8
8. निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए-
(क) समीकरण निकाय 4x - 5y + 3z = 15; - 3x + 2y + z = 2; x - y + 2 = 7 को आव्यूह विधि से हल कीजिए। 8
(ख) यदि A = [3 -3 4]
[2 -3 4]
[0 -1 1]
हो तो सिद्ध कीजिए कि A³ = A⁻¹
9. निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए-
(क) सिद्ध कीजिए कि एक गोले के अन्तर्गत जिसकी त्रिज्या a है, उच्चतम आयतन के बने बेलन की ऊँचाई 2a/√3है। 8
(ख) एक निर्माता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकिट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घण्टा और मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घण्टे मशीन A पर और 1 घण्टा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों पर ₹ 17.50 प्रति पैकिट और बोल्टों पर ₹7 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घण्टे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अधिकतम लाभार्जन किया जा सके? 8
