Class 12 Maths Ardhvarshik Paper 2026-27 PP6 Full Solution 100 Marks
Class 12 Maths Ardhvarshik Paper 2026-27 | PP6 Original Paper + 100 Marks Full Solution |Subhansh Classes
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📘 Class 12 Maths Ardhvarshik Paper 2025 - Full Solution
Half Yearly Exam PP-6 | 100 Marks | Matrix, Determinant, Continuity, Differentiation, Application
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Q1. Sahi Vikalp (1×6=6) - Page-1
(क) $sin^{-1}(e^{-x})$ का अवकलज -
$dy/dx = -e^{-x}/√(1-e^{-2x}) = -1/√(e^{2x}-1)$
Ans: (स) सही, (ब) में printing mistake
(ख) r=6 पर क्षेत्रफल परिवर्तन दर -
$A=πr², dA/dr=2πr= 12π$ Ans: (ब)
(ग) $|x 2; 18 x| = |6 2; 18 6|$ -
$x²-36=0$ => x=±6 Ans: (स) -6 और +6 दोनों
(घ) असतत फलन -
1/(1-2x) x=1/2 पर असतत Ans: (स)
(ङ) R={(a,b):a≤b²} -
स्वतुल्य, सममित, संक्रामक नहीं - Ans: (द) कोई नहीं
(च) A=m×n, B=n×p तो AB का क्रम -
m×p (paper में p×m गलत print)
Q2. Sabhi Khand (2 Marks)
(क) A={1,2},B={3,4} सम्बन्धों की संख्या - $2^{2×2}= 16
(ख) sin mx का अवकलन - m cos mx
(ग) $x=a(θ-sinθ),y=a(1-cosθ)$ - dy/dx= cot(θ/2)
(घ) A={a,b,c},B={1,2} सम्बन्ध - $2^{6}= 64
(ङ) $sin^{-1}(-√3/2)$ - -π/3
Q3-Q4 (2-3 Marks) - Matrix
Q3(क) X+Y=[7 0;2 5], X-Y=[3 0;0 3] तो X - $2X=[10 0;2 8]$ => X=[5 0;1 4]
Q3(ख) $2x³-3x²-36x+7$ वर्धमान - $f'(x)=6(x-3)(x+2)>0$ => (-∞, -2)U(3,∞)
Q3(ग) f(x)=|x|, x=0 पर सतत - LHL=RHL=f(0)=0 => सतत
Q3(घ) $cos^{-1}(1/2)+2sin^{-1}(1/2)$ - $π/3+2×π/6= 2π/3
Q4(क) [1 2;3 4] का adj - [4 -2; -3 1]ᵀ = [4 -3;-2 1]
Q4(ख) A,B सममित तो AB-BA विषम सममित - $(AB-BA)^T=BA-AB=-(AB-BA)$ Proved
Q4(ग) [1 2;2 -1] का व्युत्क्रम - |A|=-5, $A^{-1}= [1/5 2/5;2/5 -1/5]
Q5. Sabhi Khand (5 Marks) - Important
(क) $A=[[1,2,3],[3,-2,1],[4,1,2]]$ तो $A³-23A-40I=0$ -
$A²=[[19,1,11],[1,11,9],[15,8,17]]$, $A³=[[66,47,80],[70,-11,32],[107,31,87]]$
Char poly $λ³-λ²-23λ-40=0$ => Cayley-Hamilton से सिद्ध।
(ख) f(x)= sinx/x x<0, x+1 x≥0 सतत सिद्ध -
LHL=lim sinx/x=1, RHL=1, f(0)=1 => सतत
(ग) Matrix विधि: 2x-3y+5z=11,3x+2y-4z=-5,x+y-2z=-3 -
Ans: x=1, y=2, z=3
(घ) Determinant = (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) सिद्ध -
$R3=R3+R1$ => $(x+y+z)$ common => Vandermonde से सिद्ध।
(ङ) गुब्बारा 900 cm³/sec, r=15 पर dr/dt -
$dV/dt=4πr²dr/dt$ => $900=900π dr/dt$ => dr/dt=1/π =0.318 cm/sec
Q6. (5 Marks)
(क) A=[-2;4;5], B=[1,3,-6] तो (AB)'=B'A' -
$AB=[-2 -6 12;4 12 -24;5 15 -30]$, $(AB)'=B'A'$ proved.
(ख) $3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x³)$ - $x=sinθ$ रखो => $sin3θ=3sinθ-4sin³θ$ => सिद्ध।
(ग) A=(1..5) से B=(1,4,5) में R "छोटा है" - R={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)} 7 युग्म
$R^{-1}$ (B से A) "बड़ा है" = {(4,1),(5,1)...}
(घ) (2,4),(3,-2),(k,5) क्षे=13/2 तो k - $½|6k-11|=13/2$ => k=4 या k=-1/3
(ङ) Matrix [[1,3,-2],[-3,0,-5],[2,5,0]] का inverse - |A|=25, $A^{-1}= [[1,-0.4,-0.6],[-0.4,0.16,0.44],[-0.6,0.04,0.36]]
Q7-Q8-Q9 (8 Marks) - Long Answer
Q7(क) a,b ज्ञात करो: f=5 x≤2, ax+b 2<x<10, 2 x≥10 -
$x=2$: 2a+b=5, $x=10$:10a+b=2 => a=-3/8, b=23/4
Q7(ख) siny=x sin(a+y) तो dy/dx=sin²(a+y)/sina -
$x=siny/sin(a+y)$, $dx/dy=sina/sin²(a+y)$ => $dy/dx=sin²(a+y)/sina$ Proved.
Q8(क) A=[[1,-1,2],[3,0,-2],[1,0,3]] तो A(adjA)=|A|I₃ -
|A|=11, A(adjA)=11I₃ सिद्ध (हर invertible matrix का गुण)
Q8(ख) 2x+3y+3z=5, x-2y+z=-4, 3x-y-2z=3 Matrix से -
x=1, y=2, z=-1 (2+6-3=5 ✓)
Q9(क) R तुल्यता तो $R^{-1}$ भी तुल्यता -
Reflexive, Symmetric, Transitive तीनों $R^{-1}$ में भी सिद्ध।
Q9(ख) f(x)=x³, f:N→N एकैकी आच्छादित जाँच -
एकैकी है ($x1³=x2³$=>x1=x2), आच्छादित नहीं (2 का pre-image N में नहीं) => Into फलन।
🔥 100/100 Pakka - 2025 Ardhvarshik Trick
Matrix inverse, Determinant property, siny=x sin(a+y), Gubbara wala question, Relation 16/64 har saal repeat hota hai. Ye 4 pages yaad kar lo - Final me 70% yahi ayega.
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