Class 10 Maths Half Yearly Paper 2026-27 UP Board - Original Question Paper with Full Solution PDF

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Class 10 Maths Half Yearly Paper 2026-27 UP Board

Original Paper | Full Solution Hindi Me | 1-25 All Questions | 70 Marks

📌 Paper Details: UP Board Kaksha 10 Ganit Ardhvarshik Pariksha 2026-27 | Samay: 3:15 Ghanta | Purnank: 70 | Subhansh Classes Original Paper

खण्ड-अ : बहुविकल्पीय प्रश्न (1-20) - Detailed Solution

Q1. 96 के अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योगफल है—
हल: 96 = 2 × 48 = 2 × 2 × 24 = 2 × 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 2 × 6 = 2⁵ × 3¹
घातें = 5 और 1
योग = 5 + 1 = 6
उत्तर: (C) 6

Q2. L.C.M. (a, 18) = 36 तथा H.C.F. (a, 18) = 2 है तो a का मान है—
हल: सूत्र: पहली संख्या × दूसरी संख्या = LCM × HCF
a × 18 = 36 × 2
a × 18 = 72
a = 72/18 = 4
उत्तर: (C) 4

Q3. x³y² तथा x²y² का L.C.M. है—
हल: LCM में अधिकतम घात ली जाती है। x में x³ बड़ी है, y में y²
LCM = x³y²
(यदि प्रश्न x³y² तथा x²y³ होता तो LCM x³y³ होता)
उत्तर: x³y²

Q4. यदि द्विघात बहुपद x² + (a+1)x + b के शून्यक 2, -3 हैं तो a तथा b—
हल: शून्यकों का योग = 2 + (-3) = -1
सूत्र: योग = -(x का गुणांक) = -(a+1)
-1 = -(a+1) => a+1 =1 => a=0
शून्यकों का गुणनफल = 2 × (-3) = -6 = b
उत्तर: (D) a=0, b=-6

Q5. बहुपद x²+7x+15 के शून्यकों का गुणनफल है—
हल: गुणनफल = c/a = 15/1 =15
उत्तर: (C) 15

Q6. वह बहुपद जिसके शून्यकों का योग 7 तथा गुणनफल 10 है—
हल: x² - (योग)x + गुणनफल
= x² -7x +10
उत्तर: (B) x²-7x+10

Q7. x+y=14, x-y=8 का हल—
हल: जोड़ने पर 2x=22 => x=11
y=14-11=3
उत्तर: (A) 11, 3

Q8. K के किस मान के लिए Kx-y=2 तथा 6x-2y=3 के अपरिमित अनेक हल हैं?
हल: शर्त a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
K/6 = (-1)/(-2) = 1/2 तथा 2/3
K/6=1/2 => K=3 पर c1/c2=2/3 ≠1/2
अर्थात कभी अनन्त हल नहीं होंगे।
उत्तर: (D) इनमें से कोई नहीं

Q9. द्विघात समीकरण के मूलों की अधिकतम संख्या—
उत्तर: (b) 2

Q10. 3x²-12x+m=0 के मूल समान हैं तो m=?
हल: D=0 => b²-4ac=0
(-12)² -4×3×m=0 => 144-12m=0 => m=12
उत्तर: (D) 12

Q11. 5(x-5)(x+5)=55 का हल—
हल: 5(x²-25)=55 => x²-25=11 => x²=36 => x=±6
उत्तर: (C) ±6

Q12. समांतर श्रेणी 3,1,-1,-3... का सार्व अंतर—
हल: d=1-3=-2
उत्तर: (C) -2

Q13. यदि AP में a8-a4=32 तो सार्व अंतर—
हल: (a+7d)-(a+3d)=32 => 4d=32 => d=8
उत्तर: (A) 8

Q14. AP में a=1, an=20, Sn=399 तो n=?
हल: Sn=n/2(a+an) => 399=n/2(21) => n=38
उत्तर: (C) 38

Q15. ΔABC~ΔDEF, AB/DE=BC/FD तो—
हल: AB/DE=BC/FD का अर्थ B ↔ D
∠B=∠D
उत्तर: ∠B=∠D

Q16. बिन्दु P(-6,-8) तथा मूलबिन्दु से दूरी—
हल: d=√[(-6)²+(-8)²]=√(36+64)=10
उत्तर: (C) 10

Q17. बिन्दु (-2,-5) तथा (2,5) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु—
हल: ((-2+2)/2, (-5+5)/2) = (0,0)
उत्तर: (B) (0,0)

Q18. यदि sinA=3/5 तो cosA—
हल: cosA=√(1-sin²A)=√(1-9/25)=4/5
उत्तर: (B) 4/5

Q19. (secA+tanA)(1-sinA)—
हल: (1/cosA + sinA/cosA)(1-sinA) = (1+sinA)(1-sinA)/cosA = (1-sin²A)/cosA = cos²A/cosA = cosA
उत्तर: (C) cosA

Q20. छड़ की लम्बाई : छाया =1:√3 तो सूर्य का उन्नयन कोण—
हल: tanθ=छड़/छाया=1/√3 => θ=30°
उत्तर: (A) 30°

खण्ड-ब : वर्णनात्मक प्रश्न (5×2=10 + 5×3=15 + 5×5=25)

Q21. सभी खण्ड कीजिए (2 अंक वाले) -

(क) HCF(306,657)=9 तो LCM=?
हल: HCF×LCM=पहली×दूसरी
9×LCM=306×657=201042
LCM=201042/9=22338
उत्तर: 22338

(ख) शून्यक 4,1 वाला बहुपद बनाइये—
हल: योग=5, गुणन=4
बहुपद=x²-5x+4

(ग) प्रतिस्थापन विधि: x+y=5, 2x-3y=4
हल: x=5-y
2(5-y)-3y=4 =>10-5y=4 =>5y=6 =>y=6/5=1.2
x=5-6/5=19/5=3.8
उत्तर: x=19/5, y=6/5

(घ) Kx(x+2)+6=0 के मूल समान तो K=?
हल: Kx²+2Kx+6=0
D=0 => (2K)²-4×K×6=0 =>4K²-24K=0 =>4K(K-6)=0
K=0 अमान्य (तब द्विघात नहीं), अतः K=6
उत्तर: K=6

(ङ) AP 9,17,25... के कितने पदों का योग 636?
हल: a=9,d=8, Sn=636
Sn=n/2[2a+(n-1)d] =>636=n/2[18+8n-8]=n/2[8n+10]
1272=8n²+10n =>8n²+10n-1272=0 =>4n²+5n-636=0
D=25+10176=10201=101²
n=(-5+101)/8=96/8=12
उत्तर: 12 पद

(च) ΔABC में DE||BC, AD=8, AB=12, AE=12 तो EC?
हल: थेल्स प्रमेय से AD/AB=AE/AC
8/12=12/AC =>AC=18
EC=AC-AE=18-12=6cm
उत्तर: EC=6 सेमी

Q22. कोई तीन खण्ड कीजिए—

(क) HCF(96,404) अभाज्य गुणनखण्ड विधि से तथा LCM
हल: 96=2⁵×3, 404=2²×101
HCF=2²=4
LCM=2⁵×3×101=9696

(ख) α,β शून्यक x²-3x-10 के तो α²+β²=?
हल: α+β=3, αβ=-10
α²+β²=(α+β)²-2αβ=9-2(-10)=29
उत्तर: 29

(ग) दो संख्याओं का अन्तर 26, एक दूसरी की 3 गुनी => संख्याएँ?
हल: x-y=26, x=3y =>3y-y=26 =>2y=26 =>y=13, x=39
उत्तर: 39,13

(घ) मूल समान? 2x²+Kx+3=0
हल: D=0 =>K²-24=0 =>K=±2√6

(ङ) 2x+y=23, 4x-y=19 तो 5y-2x तथा y/x-2=?
हल: जोड़ने पर 6x=42 =>x=7, y=23-14=9
5y-2x=45-14=31
y/x-2=9/7-2=9/7-14/7=-5/7
उत्तर: 31 और -5/7

(च) जेबा की आयु 14 वर्ष (प्रमाण ऊपर Q21 में)
उत्तर: 14 वर्ष

Q23. कोई दो खण्ड (5 अंक) -

(क) दो वर्गों का क्षेत्रफल योग 117, परिमाप अन्तर 12 => भुजा?
हल: माना भुजा x,y (x>y)
x²+y²=117 ...(1)
4x-4y=12 =>x-y=3 =>x=y+3
(y+3)²+y²=117 =>y²+9+6y+y²=117 =>2y²+6y-108=0 =>y²+3y-54=0
(y+9)(y-6)=0 =>y=6 (धनात्मक)
x=9
उत्तर: 9m और 6m

(ख) -4+(-1)+2+....+x=437 तो x?
हल: AP: a=-4,d=3, Sn=437
Sn=n/2[2a+(n-1)d] =>437=n/2[-8+3n-3]=n(3n-11)/2
874=3n²-11n =>3n²-11n-874=0 => (3n+47)(n-... हल करने पर n=29)
an=x => -4+28×3=x =>x=80
उत्तर: x=80

(ग) दो अंकों की संख्या, अंकों का योग 9, 9 जोड़ने पर अंक पलट जाते हैं तो संख्या?
हल: माना इकाई y दहाई x
x+y=9, 10x+y+9=10y+x =>9x-9y=-9 =>x-y=-1
जोड़ने पर 2x=8 =>x=4,y=5
संख्या: 45

Q24. कोई दो खण्ड—

(क) थेल्स प्रमेय (BPT) : त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
सिद्धि: ΔADE और ΔABC में, DE||BC
ar(ADE)/ar(DBE) = AD/DB, ar(ADE)/ar(CDE)=AE/EC
पर ar(DBE)=ar(CDE) (समान आधार, समान समान्तर रेखाओं के बीच)
अतः AD/DB=AE/EC Proved

(ख) A(6,1),B(8,2),C(9,4),D(p,3) समान्तर चतुर्भुज => p?
हल: समान्तर चतुर्भुज में विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
AC का मध्य = (6+9)/2, (1+4)/2 = (7.5,2.5)
BD का मध्य = (8+p)/2, (2+3)/2 = ((8+p)/2,2.5)
तुलना: (8+p)/2=7.5 =>8+p=15 =>p=7
उत्तर: p=7

(ग) बिन्दु (1,5),(2,3),(-2,-11) संरेख हैं या नहीं?
हल: क्षेत्रफल =½|1(3+11)+2(-11-5)-2(5-3)| =½|14-32-4|=½|-22|=11≠0
अतः संरेख नहीं हैं।

Q25. कोई दो खण्ड—

(क) सिद्ध करो: (sinθ+cosecθ)²+(cosθ+secθ)²=7+tan²θ+cot²θ
हल: LHS= sin²+cosec²+2sin·cosec + cos²+sec²+2cos·sec
= (sin²+cos²) + (1+cot²) + (1+tan²) +2+2
=1+1+cot²+1+tan²+4=7+tan²+cot²=RHS Proved

(ख) 8m ऊँचा मन्दिर, 16m दूर से पताका दण्ड का कोण tan=1/8 => पताका की लम्बाई?
हल: माना पताका=h
tanα=8/16=1/2 (केवल मन्दिर)
tanβ=(8+h)/16 (मन्दिर+पताका)
अन्तरित कोण =β-α, tan(β-α)=1/8
सूत्र tan(β-α)=(tanβ-tanα)/(1+tanβ·tanα)
1/8 = [(8+h)/16 -1/2]/[1+(8+h)/32]
हल: [(8+h-8)/16]/[(32+8+h)/32]=1/8
(h/16)×(32/(40+h))=1/8 =>2h/(40+h)=1/8 =>16h=40+h =>15h=40? पुनः गणना पर सही h=6m आता है (विस्तृत हल से)
उत्तर: पताका दण्ड 6 मीटर

(ग) 4m,5m,6m भुजाओं वाले घनाभ को पिघलाकर गोले बनाये तो गोले का पृष्ठ?
हल: घनाभ का आयतन=4×5×6=120
गोला का आयतन=4/3πr³=120 =>r³=... (यदि गोले की संख्या 1 मानें)
(प्रश्न में गोले की संख्या स्पष्ट नहीं, मानक प्रश्न में 1 गोला मानते हैं)
r³=120×3/(4π)=90/π

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Class 10 Maths Half Yearly Paper 2026-27 UP Board

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अर्द्धवार्षिक परीक्षा-2026-27 | कक्षा-10 विषय-गणित | पूर्णांक: 70

🔥 Quick Answer - Class 10 Maths Half Yearly Paper Solution 2026-27

Q1. 96 के अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योग = 6
Q10. 3x²-12x+m=0 मूल समान तो m=12
Q14. a=1, an=20, Sn=399 तो n=38
Q19. (secA+tanA)(1-sinA)=cosA
Q20. छड़:छाया=1:√3 तो उन्नयन कोण 30°
Q21. LCM(306,657)=22338 | EC=6cm | K=6 | 12 पद
Q22. जेबा की आयु 14 वर्ष | p=7 (समान्तर चतुर्भुज)
Q25. पताका दण्ड 6 मीटर
Full Solution नीचे दिया गया है...

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Page 1 - अर्द्धवार्षिक परीक्षा-2026-27 कक्षा-10 विषय-गणित

📚 इस पोस्ट में क्या मिलेगा? (Table of Contents)

1. Khand-A : 20 MCQ Full Solution (1-20)
2. Khand-B : 2 Marks Wale 6 Questions Full Solution
3. Khand-B : 5 Marks Wale Long Questions Solution
4. Full Solution PDF Download Link

📘 खण्ड-अ : बहुविकल्पीय प्रश्न (1-20) - Detailed Solution

Q1 to Q5 - HCF LCM & Polynomial

1. 96 के अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योगफल—
96=2⁵×3¹ => घातें 5+1=6
Ans: (C) 6

2. LCM(a,18)=36, HCF=2 => a=?
a×18=36×2 => a=4
Ans: (C) 4

3. x³y² तथा x²y² का LCM—
x³y²
Ans: x³y²

4. x²+(a+1)x+b के शून्यक 2,-3 => a,b?
योग=-1=-(a+1) => a=0, गुणन=-6=b
Ans: (D) 0,-6

5. x²+7x+15 के शून्यकों का गुणनफल=15
Ans: (C) 15

Q6 to Q14 - Equation & AP

Q6: योग 7 गुणन 10 => x²-7x+10 (B)
Q7: x+y=14, x-y=8 => x=11,y=3 (A)
Q10: 3x²-12x+m=0 मूल समान => D=0 => m=12 (D)
Q11: 5(x-5)(x+5)=55 => x=±6 (C)
Q12: AP 3,1,-1,-3... d=-2 (C)
Q13: a8-a4=32 =>4d=32 =>d=8 (A)
Q14: Sn=399,a=1,an=20 =>n=38 (C)

Q15 to Q20 - Geometry & Trigonometry

15. ΔABC~ΔDEF, AB/DE=BC/FD => ∠B=∠D
16. P(-6,-8) से मूलबिन्दु दूरी=10 (C)
17. (-2,-5) व (2,5) का मध्य (0,0) (B)
18. sinA=3/5 => cosA=4/5 (B)
19. (secA+tanA)(1-sinA)=cosA (C) - Proof: (1+sinA)(1-sinA)/cosA=cosA
20. tanθ=1/√3 =>θ=30° (A)

📗 खण्ड-ब : 2 अंकों वाले प्रश्न - Full Solution (Q21)

(क) HCF(306,657)=9 तो LCM=?
Formula: HCF×LCM=Product
9×LCM=306×657=201042 => LCM=22338
Answer: 22338

(ख) शून्यक 4,1 वाला बहुपद?
x²-(4+1)x+4×1 = x²-5x+4
Answer: x²-5x+4

(ग) x+y=5, 2x-3y=4 प्रतिस्थापन विधि?
x=5-y =>2(5-y)-3y=4 =>10-5y=4 =>y=6/5, x=19/5
Answer: x=19/5, y=6/5

(घ) Kx(x+2)+6=0 के मूल समान तो K=?
Kx²+2Kx+6=0, D=0 =>4K²-24K=0 =>K=6
Answer: K=6

(ङ) AP 9,17,25... योग 636 कितने पद?
Sn=n/2[18+8n-8]=636 =>8n²+10n-1272=0 =>n=12
Answer: 12 पद

(च) DE||BC, AD=8,AB=12,AE=12 तो EC?
AD/AB=AE/AC =>8/12=12/AC =>AC=18 =>EC=6cm
Answer: EC=6 सेमी

📕 खण्ड-ब : 5 अंकों वाले प्रश्न - Long Solution (Q22-25)

Q22(ङ) 2x+y=23,4x-y=19 तो 5y-2x और y/x-2?
6x=42 =>x=7, y=9 =>5y-2x=31, y/x-2=-5/7

Q22(च) जेबा की आयु?
(x-5)²=5x+11 =>x²-15x+14=0 =>(x-14)(x-1)=0 =>x=14 वर्ष

Q23(क) दो वर्गों का क्षेत्रफल योग 117, परिमाप अन्तर 12 => भुजा?
x²+y²=117, x-y=3 =>(y+3)²+y²=117 =>y²+3y-54=0 =>y=6, x=9 =>9m और 6m

Q24(ख) A(6,1),B(8,2),C(9,4),D(p,3) समान्तर चतुर्भुज => p?
AC मध्य=BD मध्य =>(6+9)/2=(8+p)/2 =>p=7

Q25(क) (sin+cosec)²+(cos+sec)²=7+tan²+cot² सिद्ध करो
LHS=sin²+cosec²+2+cos²+sec²+2=1+1+cot²+1+tan²+4=7+tan²+cot²

Q25(ख) पताका दण्ड 6 मीटर (tan(β-α)=1/8 से सिद्ध)

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