गति के समीकरणों का गणितीय निगमग
Gati ke samikaran ka nigman
गति के तीनो समीकरणों का निगमन
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(1) गति का प्रथम समीकरण – माना किसी गतिशील वस्तु का प्रारम्भिक वेग u व एकसमान त्वरण a है। माना t सेकण्ड में s दूरी चलने के पश्चात् वस्तु का वेग v हो जाता है, तब
1 सेकण्ड में वस्तु के वेग में वृद्धि = a
तथा t सेकण्ड में वस्तु के वेग में वृद्धि = a.t
अतः t सेकण्ड के पश्चात् वस्तु का वेग v = वस्तु का प्रारम्भिक वेग+ t सेकण्ड में वस्तु के वेग मे वृद्धि
v = u + a.t
(ii) गति का द्वितीय समीकरण – माना किसी गतिशील वस्तु का प्रारम्भिक वेग u तथा एकसमान त्वरण a है। माना t समय पश्चात् वस्तु का अन्तिम वेग v हो जाता है।
1 सेकण्ड में वस्तु के वेग में वृद्धि = a
गति प्रारम्भ होने के 1 सेकण्ड पश्चात् वस्तु का वेग
= (u + a)
गति समाप्त होने के 1 सेकण्ड पहले वस्तु का वेग
= (v – a)
वस्तु का औसत वेग= {(u+a) + (v-a) }/2
=(u+v) /2
अतः
इसी प्रकार, गति प्रारम्भ होने के 2 सेकण्ड बाद वस्तु का वेग = ( u + 2a)
गति समाप्त होने के 2 सेकण्ड पहले वस्तु का वेग = (v - 2 a)
वस्तु का औसत वेग = {(u + 2 a) + (v - 2 a)} /2
= (u+v)/2
इस प्रकार त्वरण के नियत होने पर वस्तु का औसत वेग सदैव ही (u+v)/ 2 रहता है;
अत: हम यह मान सकते हैं कि t सेकण्ड तक वस्तु इसी औसत वेग(u+v)/2 से चलती रही है।
अतः t सेकण्ड में वस्तु द्वारा चली गई दूरी
s= वस्तु का औसत वेग x समय = {(u+v) /2 } x t
परन्तु गति के प्रथम समीकरण v= u + at से,
वस्तु द्वारा चली गई दूरी। {(u+u+at)/2} × t
s = {(2u+ at) / 2 }× t
s = ut +½ at²
(iii) गति का तृतीय समीकरण-गति के प्रथम समीकरण v =u +at का दोनों ओर का वर्ग करने पर,
v² = (u + at) ² =u² + 2 uat + a² t² ,
v² = u² +2a(ut + ½ at²)
हम जानते हैं गति के दूसरे समीकरण से
s = ut + 1/2at² ,,,sका मान रखने पर
v² = u² + 2 as
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