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 गति के समीकरणों का गणितीय निगमग

Gati ke samikaran ka nigman

गति के तीनो समीकरणों का निगमन

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(1) गति का प्रथम समीकरण –  माना किसी गतिशील वस्तु का प्रारम्भिक वेग u व एकसमान त्वरण a है। माना t सेकण्ड में s दूरी चलने के पश्चात् वस्तु का वेग v हो जाता है, तब

1 सेकण्ड में वस्तु के वेग में वृद्धि = a

तथा  t सेकण्ड में वस्तु के वेग में वृद्धि = a.t

अतः t सेकण्ड के पश्चात् वस्तु का वेग v = वस्तु का प्रारम्भिक वेग+ t सेकण्ड में वस्तु के वेग मे वृद्धि

v = u + a.t

(ii) गति का द्वितीय समीकरण – माना किसी गतिशील वस्तु का प्रारम्भिक वेग u तथा एकसमान त्वरण a है। माना  t समय पश्चात् वस्तु का अन्तिम वेग v हो जाता है।

 1 सेकण्ड में वस्तु के वेग में वृद्धि = a

गति प्रारम्भ होने के 1 सेकण्ड पश्चात् वस्तु का वेग 

= (u + a) 

गति समाप्त होने के 1 सेकण्ड पहले वस्तु का वेग

 = (v – a)

 वस्तु का औसत वेग= {(u+a) + (v-a) }/2 

=(u+v) /2 

अतः

इसी प्रकार, गति प्रारम्भ होने के 2 सेकण्ड बाद वस्तु का वेग = ( u + 2a)

 गति समाप्त होने के 2 सेकण्ड पहले वस्तु का वेग = (v - 2 a) 

वस्तु का औसत वेग = {(u + 2 a) + (v - 2 a)} /2

= (u+v)/2

इस प्रकार त्वरण के नियत होने पर वस्तु का औसत वेग सदैव ही  (u+v)/ 2 रहता है; 

अत: हम यह मान सकते हैं कि t सेकण्ड तक वस्तु इसी औसत वेग(u+v)/2 से चलती रही है।

अतः t सेकण्ड में वस्तु द्वारा चली गई दूरी

s= वस्तु का औसत वेग x समय = {(u+v) /2 } x t

परन्तु गति के प्रथम समीकरण v= u + at से, 

वस्तु द्वारा चली गई दूरी।  {(u+u+at)/2} × t

s = {(2u+ at) / 2 }× t

s = ut +½ at²

(iii) गति का तृतीय समीकरण-गति के प्रथम समीकरण v  =u +at का दोनों ओर का वर्ग करने पर,

v² = (u + at) ² =u² + 2 uat + a² t² ,

v² = u² +2a(ut + ½ at²)

हम जानते हैं गति के दूसरे समीकरण से

 s = ut + 1/2at² ,,,sका मान रखने पर

v² = u² + 2 as

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